Question

已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側棱底面，，為的中點，為中點．

(Ⅰ)求證：直線平面；
(Ⅱ）求點到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）取的中點為，連接，
推出，，且，
利用四邊形為平行四邊形，得到，
所以直線平面.
(Ⅱ）點到平面的距離為．

解析試題分析：（Ⅰ）取的中點為，連接，

因為為的中點，為中點，
所以，，且，
所以四邊形為平行四邊形， 所以，
又因為,
所以直線平面.
(Ⅱ）由已知得，所以,
因為底面三角形為正三角形，為中點，
所以, 所以，
由（Ⅰ）知，所以，
因為，所以,,
設點到平面的距離為，由等體積法得 ，
所以，得，
即點到平面的距離為．
考點：正三棱柱的幾何特征，平行關系，垂直關系，體積計算，距離計算。
點評：中檔題，立體幾何問題中，平行關系、垂直關系，角、距離、面積、體積等的計算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計算”。本題計算距離時，應用了“等體積法”，在幾何體不十分規則時，經常用到。