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如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

 

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連結NE.

則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.

∴＝，＝.

∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.

∵NE?平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知＝，

∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，

∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

 

練習冊系列答案
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(1)求證：DC⊥平面ABC；

(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；

(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

 

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB.

(1)求證：CE⊥平面PAD；

(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱錐P-ABCD的體積．

 

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如圖，AB、CD均為圓O的直徑，CE⊥圓O所在的平面，BF∥CE.求證：

(1)平面BCEF⊥平面ACE；

(2)直線DF∥平面ACE.

 

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正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D為C1C的中點，O為A1B與AB1的交點．

(1)求證：AB1⊥平面A1BD；

(2)若點E為AO的中點，求證：EC∥平面A1BD.

 

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