Question

拋物線拋物線y²=4x上有兩個定點A （1，2）B（4，-4），在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，P點的坐標為（　�。�

• A．（

  1

  4

  ，-1）
• B．（0，0）
• C．（1，-2）
• D．(

  1

  4

  ，1)

Answer 1

分析：根據題意并且結合兩點間距離公式求出兩點的距離，由直線方程的兩點式求出直線AB的方程；由題意可得，求△PAB的面積最大值可轉化為求點P到直線AB的距離的最大值，設出點P的坐標，由點到直線的距離公式建立起點P到直線AB的距離的函數關系式，利用函數的知識求出最值，即可求出面積的最大值以及此時的點P的坐標．

解答：解：由A（1，2），B（4，-4）可得 |AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

，
并且直線AB的方程為

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化簡得2x+y-4=0．
設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以當y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

，
此時P點坐標為（

1

4

，-1）．
故選A．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，熟練掌握兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線方程的求法對解答本題也很關鍵，本題考查了推理判斷的能力及符號運用的能力，運算量較大，直線與圓錐曲線的關系是近幾年高考對圓錐曲線考查的一個重要形式，題后要認真總結此類題的做題規律．