Question

如圖，在三棱錐中，，，點分別是的中點，底面．
（1）求證：平面；
（2）當時，求直線與平面所成角的大小；
（3）當為何值時，在平面內的射影恰好為的重心？

Answer 1

（1）證明見解析（2）與平面所成的角為．（3）當時，三棱錐為正三棱錐．在平面內的射影為的重心．

（1）證明：平面，
．
以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．

設，則．
設，則．
為的中點，．
，．
，平面．
（2），即，，

可求得平面的法向量．
．
設與平面所成的角為，
則．
與平面所成的角為．
（3）的重心，，
平面，．
又，．
．
，即．
反之，當時，三棱錐為正三棱錐．
在平面內的射影為的重心．