Question

設數{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，數列{b_n}滿足a₁=b₁，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，n∈N^*
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

bn

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式，先要根據已知條件判斷數列是否為等差（比）數列，由a₁=1，a_n+1=2S_n+1，得到數列{a_n}為等比數列，而由數列{b_n}滿足a₁=b₁，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，得數列{b_n}是一個等差數列．求出對應的基本量，代入即可求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）由（1）中結論，可得 cn=

bn

an

，即數列{c_n}的通項公式可以分解為一個等差數列和一個等比數列相乘的形式，則可以用錯位相消法，求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列．
所以a_n=3^n-1．
由點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
則數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
則b_n=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因為 cn=

bn

an

=

2n-1

3n-1

，所以 Tn=

1

30

+

3

31

+

5

32

++

2n-1

3n-1

．
則

1

3

Tn=

1

31

+

3

32

+

5

32

++

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
兩式相減得：

2

3

Tn=1+

2

3

+

2

32

++

2

3n-1

-

2n-1

3n

．
所以 Tn=3-

1

2•3n-2

-

2n-1

2•3n-1

=3-

n+1

3n-1

．

點評：解決等差數列與等比數列的問題時，根據已知條件構造關于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據定義確定數列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．