Question

設數{a_n}的前n項和為S_n=4-

1

4n-1

（n∈N⁺），數{b_n}為等差數列，且b₁=a₁，a₂（b₂-b₁）=a₁
（I）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據a_n=s_n-s_n-1，求出數列{a_n}的通項公式；由a₂（b₂-b₁）=a₁，求出b₂、b₁，進而求出公差，再由等差數列得到數列{b_n}的通項公式；
（II）首先由（I）得出求數列{c_n}的通項公式，然后求出4T_n-T_n，進而求出前n項和T_n．

解答：解（Ⅰ）由數列{a_n}的前n項和為Sn=4-

1

4n-1

得：an=Sn-Sn-1=4-

1

4n-1

-4+

1

4n-2

=

3

4n-1

(n≥2)
a₁=S₁=4-1=3（n=1）
∴an=

3

4n-1

(n∈N*)（3分）
b₁=a₁=3，a₂（b₂-b₁）=a₁?

3

4

(b2-b1)=3∴b₂-b₁=4
數列{b_n}為等差數列，
所以b_n=b₁+（n-1）4=4n-1（16分）
（Ⅱ）設cn=anbn=

3(4n-1)

4n-1

Tn=

3×3

1

+

3×7

4

++

3(4n-5)

4n-1

+

3(4n-1)

4n-1

①4Tn=4•

3×3

1

+

3×7

1

+

3×11

41

3(4n-5)

4n-3

+

3(4n-1)

4n-2

②（9分）
②-①3Tn=4×9+3×4(

1

1

+

1

41

++

1

4n-3

+

1

4n-2

)-

3(4n-1)

4n-1

Tn=

52

3

-

1

3•4n-3

-

(4n-1)

4n-1

或

52

3

-

48n+52

3•4n

或

52

3

-

n

4n-2

-

13

3•4n-1

（12分）

點評：本題考查數列的遞推式、等差數列的通項公式以及數列的前n項和，對于等差數列和等比數列乘積形式的數列一般采取錯位相減的方法求前n項和，屬于中檔題．