Question

（2009•河西區二模）已知a是實數，函數f（x）=x3-(a+

3

2

)x2+2ax+1
（Ⅰ）若f′（2）=4，求a的值及曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[1，4]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（2）=4可解得a值，從而可得f（x），f（2），由點斜式可求切線方程；
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x1=1，x2=

2a

3

，按照

2

3

a≤1，

2

3

a≥4，1＜

2

3

a＜4時三種情況進行討論，利用函數的單調性可求得函數的最大值；

解答：解：（I）f'（x）=3x²-（2a+3）x+2a，
由f'（2）=12-4a-6+2a=4，解得a=1，
于是f(x)=x3-

5

2

x2+2x+1，
故f(2)=8-

5

2

×4+4+1=3，
∴切線方程為y-3=4（x-2），即4x-y-5=0；
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得x1=1，x2=

2a

3

，
①當

2

3

a≤1時，即a≤

3

2

時，在x∈（1，+∞）內，f'（x）＞0，于是f（x）在[1，4]內為增函數．從而fmax=f(4)=64-16(a+

3

2

)+8a+1=41-8a；
②當

2

3

a≥4，即a≥6，在x∈(1，

2a

3

)內，f'（x）＜0，于是f（x）在[1，4]內為減函數，從而fmax=f(1)=

1

2

+a；
當1＜

2

3

a＜4時，f（x）在[1，

2a

3

)內遞減，在(

2a

3

，4]內遞增，故f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）與f（4）的較大者．
又f（1）=a+

1

2

，f（4）=41-8a，
由41-8a＞

1

2

+a，得a＜

9

2

，故當

3

2

＜a≤

9

2

時，f_max=f（4）=41-8a；
當

9

2

＜a＜6時，fmax=f(1)=

1

2

+a．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的最值，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．