Question

設函數f（x）=m-e^-nx（m，n∈R）
（1）若f（x）在點x=0處的切線方程為y=x，求m，n的值．
（2）在（1）條件下，設x≥0且

x

x+a

有意義時，恒有f(x)≥

x

x+a

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f^′（0）=1，f（0）=0即可求出；
（2）通過對a分類討論，利用研究函數的單調性即可求出．

解答：解：（1）∵函數f（x）=m-e^-nx，∴f^′（x）=ne^-nx，∴f^′（0）=n=1，
當x=0時，y=0，∴切點為（0，0）．
∴f（0）=0=m-1，解得m=1．
∴m=n=1．
（2）①當a=0時，f（x）=1-e^-x＜1與已知矛盾；
②當a＜0時，f(x)≥

x

x+a

，x≥0，可變形為e-x≤

a

x+a

，
若x∈(-a，+∞)，0＜e-x＜1，

a

x+a

＜0，
此時e-x＞

a

x+a

與e-x≤

a

x+a

矛盾，因此應舍去；
③當a＞0時，不等式1-e-x≥

x

x+a

等價轉化為ex-

x

a

-1≥0，
令h(x)=ex-

x

a

-1，則h′(x)=ex-

1

a

，
若0＜

1

a

≤1，即a≥1時，h^′（x）≥0，f（x）單調遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，∴f(x)≥

x

x+a

恒成立；
若

1

a

＞1，即0＜a＜1時，令h′（x）=0，解得x=ln

1

a

．
當時，x∈(0，ln

1

a

)，h^′（x）＜0，h（x）單調遞減，此時h（x）＜h（0）=0，與h（x）≥0矛盾．
綜上所述：a的取值范圍為{a|a≥1}．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分類討論的思想方法及導數的幾何意義是解題的關鍵．