Question

（1）觀察下列各式：

1+0.1

2+0.1

＞

1

2

；

0.2+ 3

0.5+ 3

＞

0.2

0.5

；

2 +7

3 +7

＞

2

3

；

72+π

101+π

＞

72

101

…請你根據上述特點，提煉出一個一般性命題（寫出已知，求證），并用分析法加以證明．
（2）命題p：已知a＞0且a≠1，函數y=log₂x單調遞減，命題q：f（x）=x²-2ax+1（

1

2

，+∞）上為增函數，若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分析已知條件中：

1+0.1

2+0.1

＞

1

2

；

0.2+ 3

0.5+ 3

＞

0.2

0.5

；…我們可以發現對于一個分式，分子和分母都加上同一個數后，其值變大，由此不難得到結論．
（2）依題意可分別求得命題p為真命題與命題q為真命題時a的取值范圍，再結合題意，利用真值表通過解不等式組即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）已知a＞b＞0，m＞0，求證

b+m

a+m

＞

b

a

…（3分）
證明：分析法a＞b＞0，m＞0，
欲證：

b+m

a+m

＞

b

a

只需證：a（b+m）＞b（a+m）
只需證：ab+am＞ab+bm
只需證：am＞bm
只需證：a＞b
由已知a＞b成立
所以

b+m

a+m

＞

b

a

成立…（6分）
（2）由命題P可知0＜a＜1…（7分）
由命題q：f（x）=（x-a）²+1-a²在（

1

2

，+∞）上為增函數，∴a≤

1

2

…（8分）
由命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，可知命題p、q為真命題恰好一真一假，
（i）p真，q假時，

0＜a＜1 a＞ 1 2

，∴

1

2

＜a＜1；　　　
（ii）p假，q真時，

a≤0或a≥1 a≤ 1 2

∴a∈∅…（11分）
綜上：a的范圍(

1

2

，1)…（12分）

點評：本題主要考查了復合命題的真假、歸納推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），（3）論證．