Question

已知橢圓C：的短軸長與焦距相等，且過定點，傾斜角為的直線l交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點P．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（Ⅲ）求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把點代入橢圓方程，及其2b=2c，a²=b²+c²即可得出．
（II）把直線l的 方程與橢圓的方程聯立消去一個未知數得到關于另一個未知數的一元二次方程，利用△＞0即可．
（III）利用根與系數的關系與弦長公式即可得到|AB|，利用中點坐標公式、線段的垂直平分線的方程、兩點間的距離公式可得點P到直線AB的距離，進而得到面積，
解答：解：（I）由題意可得，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為．
（II）設直線l的方程為：y=x+m．
聯立，消去y得到3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-24（m²-1）＞0，得m²＜3，即．
∴直線l在y軸上的取值范圍是．
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．AB中點Q（x，y）．
則，．
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=．
∴，．
∴Q．
∴AB的垂直平分線的方程為：．
令y=0，得x=．即．
點P到直線AB的距離d=|PQ|==．
又==．
∴=
=．
∵m²＜3，∴當且僅當時，△ABP面積取得最大值．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、線段的垂直平分線、兩點間的距離公式、三角形的面積計算公式等是解題的關鍵．