Question

現有一塊長軸長為10分米，短軸長為8分米形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為(    )

A．10平方分米                        B．20平方分米

C．40平方分米                        D．平方分米

Answer 1

C 

解析：本題考查橢圓的標準方程的求法以及橢圓參數方程.由題意知橢圓的標準方程為如圖.

方法一：(參數法)設Q(5cosθ，4sinθ)是橢圓上任意一點，則橢圓內接矩形面積S=4·5cosθ·4sinθ=40sin2θ≤40.

方法二：(不等式法)設Q(x₀，y₀)是橢圓上任意一點，則橢圓內接矩形面積S=4x₀y₀，又因為Q在橢圓上，所以有，利用均值不等式可得等，所以S=4x₀y₀≤40.