Question

（2009•錦州一模）若二項式(

sinθ

x

-x)6展開式中的常數項為20，則θ的值為

2kπ-

π

2

(k∈Z)

．

Answer 1

分析：設二項式(

sinθ

x

-x)6展開式中的第r+1項為T_r+1，可求得T_r+1=（-1）^r•

C

r 6

(

sinθ

x

)6-r•x^r=（-1）^r•（sinθ）^6-r•x^2r-6，由x的系數為0可求得r，依題意可求得θ的值．

解答：解：設二項式(

sinθ

x

-x)6展開式中的第r+1項為T_r+1，
則T_r+1=（-1）^r•

C

r 6

(

sinθ

x

)6-r•x^r=（-1）^r•

C

r 6

•（sinθ）^6-r•x^2r-6，
令2r-6=0得：r=3，
∴二項式(

sinθ

x

-x)6展開式中的常數項為T₄=-sin³θ

C

3 6

=20，
∴sinθ=-1．
∴θ=2kπ-

π

2

，k∈Z．
故答案為：2kπ-

π

2

（k∈Z）．

點評：本題考查二項式定理的通項公式的應用，求得r=3是關鍵，考查分析、運算能力，屬于中檔題．