Question

設不等式組

π 4 ≤x≤ 5π 4 |y|≤1

所表示的平面區域內為D，現向區域D內隨機投擲一點，且該點又落在曲線y=sinx與y=cosx圍成的區域內的概率是（　　）

• A．

  2

  2π

• B．

  2

  π

• C．2

  2

• D．1-

  2

  π

Answer 1

分析：利用定積分計算公式，算出曲線y=sinx與y=cosx圍成的區域包含在區域D內的圖形面積為S=2

2

，再由不等式組

π 4 ≤x≤ 5π 4 |y|≤1

所表示的平面區域D是長為π、寬為2的矩形，利用幾何概型公式加以計算即可得到所求概率．

解答：解：根據題意，可得曲線y=sinx與y=cosx圍成的區域，
位于區域D內的圖形為如圖的陰影部分，其面積為
S=

∫

5π 4 π 4

（sinx-cosx）dx=（-cosx-sinx）

|

5π 4 π 4

=（-cos

5π

4

-sin

5π

4

）-（-cos

π

4

-sin

π

4

）=2

2

．
又∵不等式組

π 4 ≤x≤ 5π 4 |y|≤1

所表示的平面區域D是一個長為π、寬為2的矩形，
∴向區域D內隨機投擲一點，該點又落在陰影部分的概率為P=

S陰影

S矩形

=

2 2

π•2

=

2

π

．
故選：B

點評：本題給出區域D和正余弦曲線圍成的區域，求在D上隨機投一點P，使點P落入指定區域的概率．著重考查了定積分計算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．