Question

已知集合是正整數(shù)的一個排列，函數(shù)
 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．
（Ⅰ）當時，寫出排列的生成列及排列的母列；
（Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；
（Ⅲ）對于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：一定可以經過有限次變換將排列變換為各項滿意指數(shù)均為非負數(shù)的排列．

Answer 1

(I)，；（II）詳見解析；（III）詳見解析.

解析試題分析：（I）弄懂已知條件中生成列、母列定義即可求解；（II）弄懂“對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．”是解題的關鍵；（III）把握第(I)問，由特殊到一般，才能順利求(III).
試題解析：（Ⅰ）解：當時，排列的生成列為；         2分
排列的母列為．                          3分
（Ⅱ）證明：設的生成列是；的生成列是與．
從右往左數(shù)，設排列與第一個不同的項為與，即：，，，，．
顯然 ，，，，下面證明：．     5分
由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項中比小的項的個數(shù)減去比大的項的個數(shù)．
由于排列的前項各不相同，設這項中有項比小，則有項比大，從而．
同理，設排列中有項比小，則有項比大，從而．
因為 與是個不同數(shù)的兩個不同排列，且，
所以 ， 從而 ．
所以排列和的生成列也不同．                8分
（Ⅲ）證明：設排列的生成列為，且為中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項，所以 ．              9分
進行一次變換后，排列變換為，設該排列的生成列為． 所以