Question

已知函數y=f(x)是定義在區間［-，］上的偶函數，且

x∈［0，］時，

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）若矩形ABCD的頂點A，B在函數y=f(x)的圖像上，頂點C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）6

【解析】本題主要考查了分段函數、函數的最值及其幾何意義及利用導數研究函數的極值，屬于中檔題．

（1）欲求函數f（x）的解析式，只須求出函數f（x）在x∈[- ，0]時的解析式即可，利用函數的偶函數性質即可由y軸右側的表達式求出在y軸左側的表達式．最后利用分段函數寫出解析式即可．

（2）設A點在第一象限，坐標為A（t，-t²-t+5），利用對稱性求出B點坐標，進而求出矩形ABCD面積，最后利用導數求出此面積表達式的最大值即可．

 解（1）當x∈時，-x∈．

∴．又∵f（x）是偶函數，

∴．

∴.

 （2）由題意，不妨設A點在第一象限，

坐標為（t，-t2-t+5），其中t∈

由圖象對稱性可知B點坐標為．

則S（t）=  =

s′（t）=．由s′（t）=0，得（舍去），．

當0＜t＜1時，s′（t）＞0；t＞1時，s′（t）＜0．

∴S（t）在（0，1]上單調遞增，在上單調遞減．

∴當t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，

且此極大值也是S（t）在t∈上的最大值．

從而當t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6．