Question

已知A、B、M三點不共線，對于平面ABM外的任一點O，確定在下列各條件下，點P是否與A、B、M一定共面??

(1) +=3-;?

(2) =4--.?

Answer 1

解法一:(1)原式可變形為

=+(-)+(-)= ++.?

由共面向量定理的推論知P與A、B、M?共面?．?

(2)原式可變形為=2+-+-

=2++.

由共面向量定理的推論可得

P位于平面ABM內的充要條件可寫成=+x+y.

而此題推得=2++,?

∴P與A、B、M不共面．?

解法二:（1）原式可變形為

=3--.?

∵3+（-1）+（-1）=1,?

∴B與P、A、M共面,?

即P與A、B、M共面.?

（2）=4--,

∵4+（-1）+（-1）=2≠1,?

∴P與A、B、M不共面.?

溫馨提示：判斷點P是否位于平面MAB內，關鍵是看向量能否用向量、表示(或看向量是否能寫成+x+y的形式)．當能用、表示時，P位于平面MAB內；當不能用、表示時，P不在平面MAB內．當=x+?y+z時，P與M、A、B共面的充要條件是x+ y+ z=1.本例利用這個結論判斷P與M、A、B是否共面更簡便.