Question

求解下列問題
（1）求函數的定義域；
（2）求f（x）=sin（）的單調增區間；
（3）函數f（x）=為奇函數，求k的值．

Answer 1

解：（1）要使原函數有意義，
則，
解①得：（k∈Z），
解②得：（k∈Z）．
所以，（k∈Z）．
所以，原函數的定義域為（k∈Z）．
（2）令，
則內層函數為減函數，
由，
即，
解得：．
即（k∈Z）．
所以，函數f（x）=sin（）的單調增區間為：
（k∈Z）．
（3）由函數f（x）=為奇函數，
則f（-x）+f（x）=0恒成立，
即恒成立，
整理得：，
所以，（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立．
即k²-1=0恒成立．
所以，k=1 或k=-1．
所以，使函數f（x）=為奇函數的k的值為1或-1．
分析：（1）由偶次根式內部的代數式大于等于0，對數式的真數大于0，聯立后求解三角不等式即可得到函數的定義域；
（2）給出的函數是正弦型的復合函數，且內層函數為減函數，只要讓在正弦函數的減區間內求解x的取值范圍即可，最后用區間表示；
（3）根據函數是奇函數的定義，由f（-x）+f（x）=0恒成立，列式后得（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立，也就是k²-1=0恒成立，則k的值可求．
點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了復合函數的單調性，考查了函數的奇偶性，復合函數的單調性滿足“同增異減”的原則，運用函數奇偶性求解參數時，注意等式恒成立的條件，此題是中檔題．