Question

對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．

（1）已知函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；

（2）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）為“局部奇函數”； （2）

【解析】

試題分析：（1）若方程有解，則說明是“局部奇函數”，否則，則說明不是“局部奇函數”。 （2）當時，可化為，用整體思想將視為整體用表示。將上式轉化為的一元二次函數。根據題意可知此二次函數在其定義域上有解。

試題解析：【解析】
（1）為“局部奇函數”等價于關于x的方程有解．

當時，

由得

解得，

所以方程有解，因此為“局部奇函數”． 4分

（2）當時，可化為

．

令， 則， 6分

從而在有解即可保證為“局部奇函數”． 8分

令，

1° 當，在有解，

由，即，解得； 10分

2° 當時，在有解等價于

解得． 13分

（說明：也可轉化為的大根大于等于2求解）

綜上，所求實數m的取值范圍為． 14分

考點：1新概念問題；2指數函數的值域；3二次函數。