Question

對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，已知函數f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)當a＝1，b＝－2時，求f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）－1，3（2）0<a<1

【解析】(1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3，由題意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3，故當a＝1，b＝－2時，f(x)的不動點是－1，3.

(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有兩個不動點，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1，故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0<a<1