Question

給定常數，定義函數，數列滿足.
（1）若，求及；
（2）求證：對任意，；
（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.

Answer 1

見解析

（1）因為，，故，

（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，

即只需證明
若，顯然有成立；
若，則顯然成立
綜上，恒成立，即對任意的，
（3）由（2）知，若為等差數列，則公差，故n無限增大時，總有
此時，
即
故，
即，
當時，等式成立，且時，，此時為等差數列，滿足題意；
若，則，
此時，也滿足題意；
綜上，滿足題意的的取值范圍是．
【考點定位】考查數列與函數的綜合應用，屬難題。