Question

已知二次函數f（x）有兩個零點0和-2，且f（x）最小值是-1，函數g（x）與f（x）的圖象關于原點對稱．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在區間[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的零點，利用待定系數法即可求f（x）和g（x）的解析式；
（2）根據h（x）=f（x）-λg（x）在區間[-1，1]上是增函數，確定對稱軸和對應區間之間的關系，即可求實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）有兩個零點0和-2，
∴設f（x）=ax（x+2）=ax+2ax（a＞0）．f（x）圖象的對稱軸是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2a=-1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．
∵函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于原點對稱，
∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x．
（2）由（1）得h（x）=x²+2x-λ（-x²+2x）=（λ+1）x²+2（1-λ）x．
①當λ=-1時，h（x）=4x滿足在區間[-1，1]上是增函數；
②當λ＜-1時，h（x）圖象對稱軸是x=

λ-1

λ+1

則

λ-1

λ+1

≥1，
又λ＜-1，解得λ＜-1；
③當λ＞-1時，同理需

λ-1

λ+1

≤-1，
又λ＞-1，解得-1＜λ≤0．
綜上，滿足條件的實數λ的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用配方法是解決本題的關鍵．