Question

已知橢圓，直線l：，P點是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足。當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程。

Answer 1

解法一：設Q ，Q點不在原點，

         顯然x,y不同是為零

         ①P點不在y軸時，即時

         ∵ R不在橢圓上

         ∴

         又∵

         ∵ P點在直線l上，∴

         解得：

         ∵

          

         ∵ x、y不同時為零

         ∴

         ∵ Q點與坐標原點O在直線l的同側

         ∴

         則：

         即：

         ②P點在y軸上時，P（0，8）

         k（0，4）

         可得Q（0，2），Q點滿足這個方程

         ∴ 所求的軌跡方程是

         解法二：點的坐標同上，過P、R、Q分別作y軸的垂線，垂足分別記作

         ∵

         又∵

         ∴  

         即

         由題已知 三個量同號

         ∴

         設 射線OP方程為

         則

         又R也在OP上，∴

         代入中

        

        

         化簡：

                  

         ∵

         則為所求的軌跡方程

                                              

解析:

本題動點Q的運動依賴于①P點的運動。②這樣兩個關系，又O、Q、R、P、D點共線，可以把P點、R點的坐標分別用動點Q的坐標表示后一起代入③④⑤ 中去整理。化簡得軌跡方程；另外也可以過Q、R、P三點分別做y軸的垂線，將轉化成這三點縱坐標的關系，再求軌跡方程。本題解法一仍是坐標代換法的一種形式，主要是將動點的相關點的坐標用動點坐標表示后，代入聯系著它們的等式中，求出動點的軌跡方程，這里因P點在直線l：上運動，而該直線與y軸可以相交，當P點在 y軸上時，R、Q也相對確定成為定值，所以在解決這個問題時，先兩步，第一部P在直線l上，運動不在y軸時（完全是“動態”）情況，第二步必須再看P在y軸時Q點做為定點是否符合所求的軌跡方程。這正是容易被忽略的，必須注意。

         綜上，在圓錐曲線的標準方程這部分內容中，應掌握的求曲線方程的基本方法。由于求曲線方程是平面解析幾何兩個主要內容之一，可以題型多，方法多。但因為坐標軸平移還沒學到因而涉及到園錐曲線的一般式的問題后再講。