Question

（12分）已知橢圓，直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且．

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）若直線AB經過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數k，是否存在a∈，使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結論；

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2) 當且時，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；

當或時，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形

【解析】解：（Ⅰ）解法一：設，,，

則，兩式相減，得：，

又，，∴，

又∵，∴，∴…4分

解法二：設直線AB的方程為y=kx+n，代入橢圓方程得

 ，設，,，

則，∴，，

∴，又∴，∴        ……4分

（Ⅱ）設C(xC，yC)，直線AB的方程為y=k(x-c)(k≠0)，代入橢圓方程，

得 ，若OACB是平行四邊形，則 ，

∴，，

∵C在橢圓上 ∴ ∴，

∴ ，∴ ∴ ，

∵ ，a∈[2，+∞] ，∴ ，∴且，

∴當且時，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；

當或時，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形。……12分