Question

已知函數f（x）=e^sinx-ksinx．
（Ⅰ）若k=e，試確定函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若對于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若函數g（x）=f（x）+f（-x）-m在x∈[

π

4

，

3π

4

]上有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^sinx-esinx，求導函數，令f'（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）由f（x）是周期為2π的周期函數，所以只需要考慮對任意x∈[0，2π]，f（x）＞0恒成立，求導函數，分類討論求函數的最小值，建立不等式，即可求得確定實數k的取值范圍；
（Ⅲ）求導函數，求得函數在x∈[

π

4

，

3π

4

]上的單調性，根據函數g（x）在x∈[

π

4

，

3π

4

]上有兩個零點，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^sinx-esinx，則f'（x）=（e^sinx-e）cosx．     …（1分）
又e^sinx-e≤0，故x∈(2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

)，k∈Z時，cosx＜0，f'（x）＞0，
所以f（x）的單調遞增區間是(2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

)，k∈Z，注：閉區間也正確…（3分）
（Ⅱ）由f（x）是周期為2π的周期函數．
所以只需要考慮對任意x∈[0，2π]，f（x）＞0恒成立，
由f'（x）=（e^sinx-k）cosx
①當k∈[e，+∞）時，類似于第1問，f(x)min=f(

π

2

)=e-k≤0，不符合題意…（4分）
②當k∈(-∞，-

1

e

]時，有f(x)min=f(

3π

2

)=

1

e

+k≤0，不符合題意 …（5分）
③k∈(-

1

e

，

1

e

]時，也有f(x)min=f(

3π

2

)=

1

e

+k＞0，符合題意     …（6分）
④當k∈(

1

e

，e)時，令f'（x）=（e^sinx-k）cosx=0得sinx=lnk或cosx=0
則f（x）=k（1-lnk），e-k，e^-1+k在k∈(

1

e

，e)時均大于0，所以f（x）＞0恒成立
綜上得，實數k的取值范圍是-

1

e

＜k＜e．                       …（8分）
（Ⅲ）g（x）=e^sinx+e^-sinx-m，g'（x）=cosx（e^sinx-e^-sinx）
在x∈[

π

4

，

3π

4

]上，sinx＞0，e^sinx＞1＞e^-sinx，
所以g（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上為增函數，在x∈[

π

2

，

3π

4

]上為減函數，且g(

π

4

)=g(

3π

4

)…（10分）
所以當m∈[e

2

2

+e-

2

2

，e+e-1)時，函數g（x）在x∈[

π

4

，

3π

4

]上有兩個零點…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的零點，綜合性強．