Question

有如下幾個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
②函數y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）最小值為4；
③若等差數列{a_n}前n項和為S_n，則三點（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S101

110

）共線；
④若a，b為正實數，代數式

a2

b2

+

b2

a2

-6(

a

b

+

b

a

)+10的值恒非負；
其中正確命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，
故△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①不正確．
②當x∈（0，π）時，函數y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx× 4 sinx

=4，但其等號成立的條件是sinx=2，這是不可能的，故它的最小值不為4，由于利用基本不等式求最值時等號成立的條件不具備，故此命題不成立；
③∵{a_n}為等差數列，設其公差為d，依題意得，

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，即為n的線性函數，故（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）三點共線，故③正確；
④設t=

a

b

+

b

a

，則t≥2，

a2

b2

+

b2

a2

-6(

a

b

+

b

a

)+10=(

a

b

+

b

a

)2-2-6(

a

b

+

b

a

)+10=t²-6t+8=（t-3）²-1，
當t≥2時，（t-3）²-1的值不是恒非負，故錯．
故選B．