設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中項
（Ⅰ）證明：數列為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，試問：這樣的正整數m共有多少個．

設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中項
（Ⅰ）證明：數列為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式2Sn-4200＞

a 2n

2

恒成立，試問：這樣的正整數m共有多少個．

對于數列{a_n}，若存在確定的自然數T＞0，使得對任意的自然數n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，則稱數列{a_n}是以T為周期的周期數列．
（1）記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}滿足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求證：數列{a_n}是以6為周期的周期數列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}滿足a1=p∈[0， 

1

2

)，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，試判斷{a_n}是否為周期數列，且說明理由；
（3）由（1）得數列{a_n}，又設數列{b_n}，其中bn=an+2n+

2009

2n

，問是否存在最小的自然數n（n∈N^*），使得對一切自然數m≥n，都有b_m＞2009？請說明理由．

已知數列{x_n}中，x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的兩根，等差數列{y_n}滿足y_n=log₂x_n，且其公差為負數，
（1）求數列{y_n}的通項公式；
（2）證明：數列{x_n}為等比數列；
（3）設數列{x_n}的前n項和為S_n，若對一切正整數n，S_n＜a恒成立，求實數a的取值范圍．