Question

（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)，其中．
( I )若函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在的圖象上，求m的值；
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，設(shè)，討論的單調(diào)性；
(Ⅲ)在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，
使△OPQ(O為原點(diǎn))是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且該三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）時(shí)，在上為增函數(shù)，
時(shí)，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)（3）如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是

解析試題分析：解：（Ⅰ）令，則，即函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)
則
（Ⅱ），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/1/18koj4.png" style="vertical-align:middle;" />，

=
=
，則
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得
由得，
此時(shí)在上為增函數(shù)，
在為減函數(shù)，
綜上當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，
時(shí)，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
（Ⅲ）由條件（Ⅰ）知
假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)、滿足題意，則、兩點(diǎn)只能在軸兩側(cè)
設(shè)，則
是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
①
（1）當(dāng)時(shí)，
此時(shí)方程①為，化簡(jiǎn)得.
此方程無解，滿足條件的、兩點(diǎn)不存在.
（2）當(dāng)時(shí)，，方程①為
即
設(shè)，則
顯然當(dāng)時(shí)即在上為增函數(shù)，
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7f/5/yyhtl.png" style="vertical-align:middle;" />，即，

綜上所述，如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是.
考點(diǎn)：本試題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用圖像過定點(diǎn)得到參數(shù)的值，進(jìn)而求解得到解析式。同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)單調(diào)性，同時(shí)要注意對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)進(jìn)行分類討論得到結(jié)論。二對(duì)于不等式的證明，一般利用構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最值，得到參數(shù)的范圍，屬于中檔題。