Question

已知p：“過定點（0，1）的動直線l恒與橢圓x²+

y2

a

=1有兩個不同的公共點”；q：“函數f（x）=

1

3

x³+ax²+2ax+1在R上存在極值”；若命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據復合命題真假之間的關系，求出對應的a的取值范圍即可得到結論．

解答：解：若p為真，則直線l過的定點（0，1）必在橢圓內部，即0＜

1

a

＜1⇒a＞1，
若q為真，則f'（x）=x²+2ax+2a=0有兩個相異的實數根，
即得△＞0⇒4a²-8a＞0⇒a＞2或a＜0，
由p且q為假，p或q為真得：

a＞1 0≤a≤2

或

a≤1 a＞2或a＜0

，
∴實數a的取值范圍a＜0或1＜a≤2．

點評：本題主要復合命題之間的關系，先判斷命題的真假關系是解決本題的關鍵．