Question

已知動圓M過定點P（0，m）（m＞0），且與定直線l₁：y=-m相切，動圓圓心M的軌跡為C，直線l₂過點P交曲線C于A，B兩點．
（1）求曲線C的方程．（2）若l₂交x軸于點S，且

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=3，求l₂的方程．（3）若l₂的傾斜角為30°，在l₁上是否存在點E使△ABE為正三角形？若能，求點E的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線l₁為準線的拋物線，由此可知曲線C的方程．
（2）由題意知k存在且k≠0，設l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²，由題設條件知k=±

1

2

，l₂方程為y=±

1

2

x+m．
（3）由題設知l₂方程為y=

3

3

x+m代入x²=4my，消去y得：x2-

4 3

3

mx-4m2=0x1=-

2 3

3

m，x2=2

3

m，A(-

2 3

3

m，

m

3

)，B(2

3

m，3m)，假設存在點E（x₀，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|，由此導出|AE|=

448 27

m≠|AB|，所以直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形．

解答：解：（1）依題意，曲線C是以點P為焦點，直線l₁為準線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4my
（2）由題意知k存在且k≠0
設l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=

m

y1

+

m

y2

=

m(y1+y2)

y1y2

=

m[k(x1+x2)+2m]

(kx1+m)(kx2+m)

=

m[k(x1+x2)+2m]

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

=

m(2m+4mk2)

m2

=2+4k2=3
所以k=±

1

2

，l₂方程為y=±

1

2

x+m
（3）由（Ⅰ）知l₂方程為y=

3

3

x+m代入x²=4my，消去y得：x2-

4 3

3

mx-4m2=0x1=-

2 3

3

m，x2=2

3

m，A(-

2 3

3

m，

m

3

)，B(2

3

m，3m)
假設存在點E（x₀，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE||AB|=y1+y2+2m=

16

3

m.
由|BE|=|AE|
即(-

2 3

3

m-x0)2+(

m

3

+m)2=(2

3

m-x0)2+(3m+m)2，
化簡得x0=

14 3

9

m
因為E(

14 3

9

m，-m)，則|AE|=

448 27

m≠|AB|
因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，難度較大，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．