Question

已知動圓M過定點P（0，m）(m>0)，且與定直線相切，動圓圓心M的軌跡方程為C，直線過點P 交曲線C于A、B兩點。

(1)若交軸于點S,求的取值范圍；

（2）若的傾斜角為，在上是否存在點E使△ABE為正三角形? 若能，求點E的坐標；若不能，說明理由.

Answer 1

（1）    （2）直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形 

解析:

(1)依題意，曲線C是以點P為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線C的方程為……（2分）

設方程為代入由消去得

設、，則……（3分）

所以的取值范圍是……（7分）

（2）由(1)知方程為代入由消去得

，……（8分）

假設存在點，使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|且|AE|=|AB，……（9分）

即……（11分）

若，則

因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形. ……（12分）

解法二：設AB的中點為G，則……（8分）

由聯立方程

與方程求得……（10分）

由得，矛盾

因此，直線l上不存在點E，使得△ABE是正三角形. ……（12分）