Question

定義：對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”.
（1）已知二次函數，試判斷是否為定義域上的“局部奇函數”？若是，求出滿足的的值；若不是，請說明理由；
（2）若是定義在區間上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；
（3）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）是“局部奇函數”；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）利用局部奇函數的定義，建立方程關系，然后判斷方程是否有解，有解則是“局部奇函數”，若無解，則不是；（2）（3）都是利用“局部奇函數的定義”，建立方程關系，并將方程有解的問題轉化成二次方程根的分布問題，從而求出各小問參數的取值范圍.
試題解析：（1）當，方程即，有解
所以為“局部奇函數”
（2）法一：當時，可化為
因為的定義域為，所以方程在上有解
令，則，設，則在上為減函數，在上為增函數，所以當時，，所以，即；
法二：當時，可化為
因為的定義域為，所以方程即在上有解
令，則關于的二次方程在上有解即可保證為“局部奇函數”
設，當方程在上只有一解時，須滿足或，解之得（舍去，因為此時方程在區間有兩解，不符合這種情況）或；
當方程在上兩個不等的實根時，須滿足
，綜上可知；
（3）當為定義域上的“局部奇函數”時
,可化為，
令則,
從而在有解,即可保證為“局部奇函數”
令，則
①當時,在有解,即,解得
②當時,在有解等價于
解得;綜上可知.
考點：1.新定義；2.函數與方程；3.一元二次方程根的分布問題.