Question

已知數列的前項和為，數列是公比為的等比數列，是和的等比中項.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）數列中可根據通項的特點選擇對應的方法來求，反之也可根據，利用來再求，此題可先根據條件求出，然后就不難求了；（2）由（1）不難得到數列通項公式，根據通項公式的特點應選擇用錯位相減法來求數列前項和.特殊數列的求和方法通常有：①公式法；②分解法；③拆項相消法；④錯位相減法；⑤奇偶分析法；⑥倒序相加法等等，關鍵是掌握根據通項所具有的特點來選擇對應的求和方法，這份試卷中已經考查了兩種特殊數列求和方法——拆項相消法和錯位相減法，通常一個等差數列和一個等比數列對應項相乘得到的數列求前項的和時常用錯位相減法，這個方法不難掌握，但要把題目做正確還是有一定難度的，故有“人人會做，人人都有可能做不對”一說，所以要特別關注易錯之處.
試題解析：（1）∵是公比為的等比數列，∴，
∴，從而，，
∵是和的等比中項，∴，解得或，
當時，，不是等比數列，∴，∴，
當時，，∵符合，∴；                （6分）
（2）∵,
∴          ①
①得：   ②
①②得：，
∴.                                                                （14分）
考點：1.等比數列通項公式及前項和公式；2.等比中項；3.特殊數列求和方法之一：錯位相減法.