Question

已知偶函數y=f（x）定義域為[-3，3]，函數f（x）在[-3，0]上為增函數，求滿足f（2x-3）＞f（x+1）的x的集合．

Answer 1

分析：根據函數f（x）為偶函數，則不等式f（2x-3）＞f（x+1）等價于f（|2x-3|）＞f（|x+1|），根據函數f（x）在[-3，0]上為增函數，則可得到f（x）在[0，3]上的單調性，利用單調性去掉“f”，即可列出不等式|2x-3|＞|x+1|，求解即可得到滿足f（2x-3）＞f（x+1）的x的集合．

解答：解：∵y=f（x）為偶函數，
∴f（|x|）=f（x），
∴不等式f（2x-3）＞f（x+1）等價于f（|2x-3|）＞f（|x+1|），
∵函數f（x）在[-3，0]上為增函數，且為偶函數，
根據偶函數在對稱區間上單調性相反，
∴函數f（x）在[0，3]上為減函數，
∵f（|2x-3|）＞f（|x+1|），
∴

|2x-3|＜|x+1| -3≤2x-3≤3 -3≤x+1≤3

，解得

2

3

＜x≤2，
∴滿足f（2x-3）＞f（x+1）的x的集合為{x|

2

3

＜x≤2}．

點評：本題考查了函數單調性的性質與奇偶性的性質，綜合運用了函數的奇偶性和單調性解不等式，解題的關鍵是將不等式進行合理的轉化，然后利用單調性去掉“f”．對于偶函數，要注意運用偶函數在對稱區間上單調性相反的性質．屬于中檔題．