Question

（2007•普陀區一模）在直角坐標系中，已知點列P₁（1，-

1

2

），P₂（2，

1

22

），P₃（3，-

1

23

），…，P_n（n，(-

1

2

)n），…，其中n是正整數．連接P₁ P₂的直線與x軸交于點X₁（x₁，0），連接P₂ P₃的直線與x軸交于點X₂（x₂，0），…，連接P_n P_n+1的直線與x軸交于點X_n（x_n，0），…．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）依次記△X₁P₂X₂的面積為S₁，△X₂P₃X₃的面積為S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面積為S_n，…試求無窮數列{S_n}的各項和．

Answer 1

分析：（1）由題設知直線P_nP_n+1的方程為：

y-(- 1 2 )n

x-n

=

(- 1 2 )n+1-(- 1 2 )n

(n+1)-n

=(-

3

2

) (-

1

2

)n，令y=0，得x_n=x=n+

2

3

．
（2）由Sn=

1

2n+2

，知數列{a_n}是首項為

1

8

，公比為

1

2

的等比數列，由此能求出無窮數列{S_n}的各項和．

解答：解：（1）∵P_n（n，(-

1

2

)n），P_n+1（n+1，(-

1

2

)n+1），
∴直線P_nP_n+1的方程為：

y-(- 1 2 )n

x-n

=

(- 1 2 )n+1-(- 1 2 )n

(n+1)-n

=(-

3

2

) (-

1

2

)n，
∴令y=0，得-(-

1

2

)n=(-

3

2

) (-

1

2

)n(x-n)，
整理，得x-n=

2

3

，
∴x_n=x=n+

2

3

．
即xn=n+

2

3

，n∈N*．
（2）由題設條件能夠導出Sn=

1

2n+2

，
∴數列{a_n}是首項為

1

8

，公比為

1

2

的等比數列，
∴S=

lim

n→∞

S_n=

1 8

1- 1 2

=

1

4

．

點評：本題考查數列現解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．