Question

已知函數f（x）=e^x-ax-b，若f（x）≥0恒成立，則ab的最大值為（　�。�

• A、

  e

• B、e²
• C、e
• D、

  e

  2

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：先求出函數的導數，再分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答：解：f′（x）=e^x-a，
若a=0，則f（x）=e^x-b的最小值為f（-∞）=-b≥0，
得b≤0，此時ab=0；
若a＜0，則f′（x）＞0，函數單調增，此時f（-∞）=-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，則得極小值點x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
現求g（a）的最大值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得極大值點a=e

1

2

g（e

1

2

）=

e

2

所以ab的最大值為

e

2

，
故選：D．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．