Question

設函數，.
（1）討論函數的單調性；
（2）若存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數；
（3）如果對任意的，都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）當時，函數在上單調遞增，當時，函數的單調遞增區間為，函數的單調遞減區間為；（2）；（3）.

試題分析：本題綜合考查函數與導數及運用導數求單調區間、最值等數學知識和方法，突出考查綜合運用數學知識和方法，考查分析問題解決問題的能力，考查分類討論思想和轉化思想.第一問，先寫出解析式，求，討論參數的正負，解不等式，單調遞增，單調遞減；第二問，先將已知條件進行轉換，等價于，所以本問考查函數的最值，對求導，令得出根，將所給定義域斷開列表，判斷單調性，求出最值；第三問，將問題轉化為，利用第一問的結論，所以，即恒成立，即恒成立，所以本問的關鍵是求的最大值.
試題解析：（1），    ，
①當時，∵,，函數在上單調遞增，
②當時，由得，函數的單調遞增區間為
 得，函數的單調遞減區間為     5分
（2）存在，使得成立
等價于：，                     7分
考察，，

			0
		遞減	極（最）小值	遞增

由上表可知：，
，                 9分
所以滿足條件的最大整數；                      10分
（3）當時，因為，對任意的，都有成立，
，即恒成立，
等價于恒成立，
記，,所以,
,∵，時,時，,
在區間上遞增，在上遞減.
所以                                    12分