Question

已知實數滿足，，設函數
（1）當時，求的極小值；
（2）若函數（）的極小值點與的極小值點相同，求證：的極大值小于等于

Answer 1

（1）；（2）見解析

試題分析：（1）把代入原函數先得解析式，再求導數，列表判斷單調性求函數的極小值；（2）先分別求函數的導函數，再分兩種情況討論，根據條件函數的極小值點相同分別求的極大值，從而進行判斷得結論
試題解析：（Ⅰ） 解: 當a＝2時，f ′（x）＝x²－3x＋2＝（x－1）（x－2）  
列表如下：

x	（－，1）	1	（1，2）	2	（2，＋）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

 
所以，f （x）極小值為f （2）＝                         5分
（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x²－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）
g ′（x）＝3x²＋2bx－（2b＋4）＋＝
令p（x）＝3x²＋（2b＋3）x－1，
（1）當 1＜a≤2時，
f（x）的極小值點x＝a，則g（x）的極小值點也為x＝a，
所以pA＝0，
即3a²＋（2b＋3）a－1＝0，
即b＝，
此時g（x）_極大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b
＝－3＋ ＝  
由于1＜a≤2，
故 ≤2－－＝               10分
（2）當0＜a＜1時，
f（x）的極小值點x＝1，則g（x）的極小值點為x＝1，
由于p（x）＝0有一正一負兩實根，不妨設x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，
故b＞－  
此時g（x）的極大值點x＝x₁，
有 g（x₁）＝x₁³＋bx₁²－（2b＋4）x₁＋lnx₁
＜1＋bx₁²－（2b＋4）x₁
＝（x₁²－2x₁）b－4x₁＋1　 （x₁²－2x₁＜0）
＜－（x₁²－2x₁）－4x₁＋1
＝－x₁²＋x₁＋1
＝－（x₁－）²＋1＋  （0＜x₁＜1）
≤＜
綜上所述，g（x）的極大值小于等于              14分