Question

已知.
（1）求函數(shù)在上的最小值；
（2）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切，都有成立.

Answer 1

（1）.（2）.（3）見解析.

解析試題分析：（1）遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，討論單調(diào)性，確定最值.”即得.
（2）由，轉(zhuǎn)化得到，
只需求的最小值，
使.
（3）問題等價(jià)于證明，
由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.
設(shè)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可知
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
從而對(duì)一切，都有成立.
試題解析：（1）.
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增  2分
①  ，即時(shí)，；      4分
②  ，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，．
所以.              4分
（2），則，
設(shè)，則，     6分
①單調(diào)遞減，②單調(diào)遞增，
所以，對(duì)一切恒成立，
所以.     8分
（3）問題等價(jià)于證明，
由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到   10分
設(shè)，則，易知
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
從而對(duì)一切，都有成立.     12分
考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立問題.