Question

設有兩個命題：
（1）關于x的不等式sinxcosx＞m²+

m

2

-1的解集是R；
（2）函數f（x）=-（7-3m）^x是減函數；若這兩個命題都是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意，由①易得，sinxcosx＞m²+

m

2

-1的解集是R表示m²+

m

2

-1小于sinxcosx的最小值恒成立，由②函數f（x）=-（7-3m）^x是減函數，則底數7-3m＞1，如果兩個命題都是真命題，則要求m同時滿足兩個條件，構造不等式組，解不等式組即可得到結果．

解答：解：不等式sinxcosx＞m²+

m

2

-1的解集是R；
即不等式2sinxcosx＞2m²+m-2的解集是R；
即sin2x＞2m²+m-2的解集是R；
即-1＞2m²+m-2恒成立，解得：-1＜m＜

1

2

函數f（x）=-（7-3m）^x是減函數；
則7-3m＞1，解得：m＜2
若兩個命題都是真命題
則-1＜m＜

1

2

點評：f（x）＞m恒成立，則m小于f（x）的最小值；
f（x）＜m恒成立，則m大于f（x）的最大值；
f（x）≥m恒成立，則m小于等于f（x）的最小值；
f（x）≤m恒成立，則m大于等于f（x）的最大值．