Question

（本小題滿分12分）在數列中， ，，．
（Ⅰ）證明數列是等比數列；
（II）求數列的前項和．
（Ⅲ）證明對任意，不等式成立．

Answer 1

（Ⅰ）由題設，得，．
又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．
（II）;（Ⅲ）對任意的，
．
所以不等式，對任意皆成立．

解析試題分析：（Ⅰ）證明：由題設，得
，．
又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．…………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數列的通項公式為．
所以數列的前項和．…………8分
（Ⅲ）證明：對任意的，
．
所以不等式，對任意皆成立．…………12分
考點：等比數列的定義；等比數列的性質；通項公式的求法；前n項和的求法。
點評：設數列，其中為等差數列，為等比數列，若求數列的前n項和，我們一般用分組求和法。分組求和法經常考到，我們要熟練掌握。