Question

若關于x的方程

1

2

x2=ln(x2+1)+k有四個不相等的實根，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．(-∞，

  1

  2

  -ln2)
• B．（0，+∞）
• C．(

  1

  2

  -ln2，0]
• D．(

  1

  2

  -ln2，0)

Answer 1

分析：由題意可得當x＞0時，f（x）=

1

2

x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有2個交點，當k=0時，滿足條件；當f（x） 和
g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時，由f′（x）=g′（x）可得，x=1，此時，k=

1

2

-ln2，綜上可得，實數k的
取值范圍．

解答：解：∵關于x的方程

1

2

x2=ln(x2+1)+k有四個不相等的實根，
∴偶函數f（x）=

1

2

x² 和偶函數 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有4個交點，
故當x＞0時，f（x）=

1

2

x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的圖象有2個交點，
由于函數g（x） 的圖象經過定點（0，k），f（x）的圖象過點（0，0），再由對數函數和冪函數的單調性特點可得，
當k=0時，f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上有3個交點．
當f（x） 和 g（x）的圖象在（0，+∞）上相切時，由f′（x）=g′（x）可得 x=

2x

x2+1

，x=1，此時，k=

1

2

-ln2．
綜上可得，實數k的取值范圍是 (

1

2

-ln2 ， 0)，
故選D．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．