Question

已知函數，．
(1)若，求函數的單調區間；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍；
(3)設，若對任意的兩個實數滿足，總存在，使得成立，證明：．

Answer 1

(1) 函數的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，；(2) 實數的取值范圍；(3) 詳見解析．

解析試題分析：（1）若，求函數的單調區間，由于含有對數式，可求出導數，在定義域內解不等式，即得函數單調區間；（2）恒成立，這是恒成立求參數范圍，常采用分離常數法，故本題分離出參數后變為恒成立，構造函數，則問題轉化為，利用導數可求得，從而得實數的取值范圍；（3）證明：，由已知，可得，進而可變形為，只需證明，設，其中，用導數可判斷，又，可得結論．
試題解析：(1)當時，函數，
則．
當時，，當時，1，
則函數的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，．    4分
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
設，則，令，得．當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，因此當時，取得最大值1，因而．        8分
(3)，．
因為對任意的總存在，使得成立，
所以，  即，
即
．              12分
設，其中，則，因而在區間(0，1)上單調遞增，，又．
所以，即．         14分
考點：導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究函數的單調性．