Question

求由直線x=1，x=2，y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S.?

      

Answer 1

解：（1）分割?

       在區間［1，2］等間隔地插入n-1個點，將它等分成n個小區間：?

       ［1，］,［,］,…,［,2］，記第i個區間為［,］(i=1,2,…,n),其長度為Δx=.?

       分別過上述n-1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形（如右圖），它們的面積記作：ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_n.則小曲邊梯形面積的和為S=ΔS_i.?

       （2）近似代替?

       記=.當n很大，即Δx很小時，在區間［］上，可以認為=的值變化很小，近似地等于一個常數，不妨認為它等于f().從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊.這樣，在區間［］上，用小矩形面積ΔS_i′近似地代替ΔS_i,即在局部小范圍內“以直代曲”，則有?

    ΔS_i≈ΔS_i′=f()Δx?

       =?

       =(i=1,2,…,n).?

       (3)求和?

       小曲邊梯形的面積和S_n=ΔS_i≈ΔS_i′?

       =?

       =n.?

       從而得到S的近似值S≈S_n=.?

       （4）取極限?

       分別將區間［1，2］等分成8，16，20，…等份時，S_n越來越趨向于S，從而有S=S_n=.

       ∴由直線x=1,x=2,y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S為.?

       溫馨提示：求曲邊梯形的面積可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法來求.