Question

求由直線x=1,x=2和y=0及曲線y=x³圍成的圖形的面積.

Answer 1

解：(1)分割

如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形,用分點把區間［1,2］等分成n個小區間：［1,］,［］,…,［］,…,［］,每個小區間的長度為Δx=,過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形,它們的面積分別記作ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_n.

(2)近似代替取各小區間的左端點ξ_i,用以點ξ_i的縱坐標ξ_i³為一邊,以小區間長Δx=為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積,可以近似地表示為

ΔS_i≈ξ_i³·Δx=(i=1,2,3,…,n).

(3)求和

因為每一個小矩形的面積都可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值,所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值,即

                                 ①

(4)求極限

當分點數目愈多,即Δx愈小時,和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S.因此,n→∞即Δx→0時,和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積.

∵

∴