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對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．
（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；
（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；
（Ⅲ）若，，求證：．

 （Ⅰ）解：依題意可得，
　．
　 ．
（Ⅱ）解：由題意可知，是數陣的第列的和，
因此是數陣所有數的和．
而數陣所有數的和也可以考慮按行相加．
對任意的，不超過的倍數有，，…，．
因此數陣的第行中有個１，其余是，即第行的和為．
所以．
（Ⅲ）證明：由的定義可知，，
所以．
所以．
考查定積分，
將區間分成等分，則的不足近似值為，
的過剩近似值為．
所以．
所以．
所以．
所以．

解析

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，aij=1；當i不能整除j時，aij=0．設t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）當n=6時，試寫出數陣A66并計算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數，求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•東城區一模）對于n∈N*（n≥2），定義一個如下數陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann

其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，aij=1；當i不能整除j時，aij=0．
（Ⅰ）當n=4時，試寫出數陣A44；
（Ⅱ）設t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超過x的最大整數，
求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年北京東城區模擬考試高三數學（一）（理科） 題型：解答題

對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．

（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；

（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：．

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．

（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；

（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：．

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