Question

對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．

（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；

（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：．

 

Answer 1

【答案】

  （Ⅰ）解：依題意可得，

         　．

       　  ．

（Ⅱ）解：由題意可知，是數陣的第列的和，

         因此是數陣所有數的和．

         而數陣所有數的和也可以考慮按行相加．

         對任意的，不超過的倍數有，，…，．

         因此數陣的第行中有個１，其余是，即第行的和為．

         所以．

（Ⅲ）證明：由的定義可知，，

         所以．

         所以．

         考查定積分，

         將區間分成等分，則的不足近似值為，

         的過剩近似值為．

         所以．

         所以．

         所以．

         所以．

 

【解析】略