Question

（2012•房山區一模）設集合W由滿足下列兩個條件的數列{a_n}構成：
①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實數M，使a_n≤M．（n為正整數）．在以下數列
（1）{n²+1}；  （2）{

2n+9

2n+11

}；  （3）{2+

4

n

}；  （4）{1-

1

2n

}
中屬于集合W的數列編號為（　　）

A．（1）（2）

B．（3）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：根據集合W是否滿足①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實數M，使a_n≤M．（n為正整數）這兩個條件的集合，說明根據函數的單調性，判定數列是否存在最大值，從而可判定選項．

解答：解：（1）∵an=n2+1，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=n²+1+（n+2）²+1-2（n+1）²-2
=n²+n²+4n+4-2（n²+2n+1）
=2＞0，
∴

an+an+2

2

＞an+1，
∴（1）不屬于集合W；
（2）∵a_n=

2n+9

2n+11

，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=

2n+9

2n+11

+

2(n+2)+9

2(n+2)+11

-2×

2(n+1)+9

2(n+1)+11

=1-

2

2n+11

+1-

2

2n+15

-2+

4

2n+13

=

4

2n+13

-

2

2n+11

-

2

2n+15

＜0，
∴①

an+an+2

2

＜an+1成立．
a_n=

2n+9

2n+11

=1-

2

2n+11

＜1，
滿足集合W的兩個條件，從而可知（2）屬于集合W；
（3）∵an=2+

4

n

，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=2+

4

n

+2+

4

n+2

-4-

8

n+1

=

4

n

+

4

n+2

-

8

n+1

＞0，
∴

an+an+2

2

＞an+1，
∴（3）不屬于集合W；
（4）由an=1-

1

2n

，得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以數列{a_n}滿足①

an+an+2

2

＜an+1；
當n趨向無窮大時，an=1-

1

2n

趨近于1，故a_n＜1，
滿足集合W的兩個條件，從而可知（4）屬于集合W
故（2）（4）正確，
故選D．

點評：本題主要考查了數列的綜合應用，以及數列的單調性，同時考查了了分析問題的能力和計算能力，屬于難題．