Question

如圖，已知四邊形與均為正方形，平面平面.

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要證直線與平面垂直，只須證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直或證明這條直線是兩垂直平面中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，且這條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線即可.本題屬于后者，由平面平面且交線為，而且平面，所以問(wèn)題得證；（2）解決空間角最有效的工具是向量法，先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，為計(jì)算的方便，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，然后標(biāo)出有效點(diǎn)與有效向量的坐標(biāo)，易知平面的法向量為，再利用待定系數(shù)法求出另一平面的法向量，接著計(jì)算出這兩個(gè)法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的圖形與計(jì)算出的余弦值，確定二面角的大小即可.

試題解析：(1)因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面

又因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以

因?yàn)?/span>平面，所以平面 4分

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

則

所以平面的法向量為 5分

設(shè)平面的法向量為

因?yàn)?/span>

由得即

令，則 6分

因?yàn)?/span>

所以二面角的大小為 8分.

考點(diǎn)：1.面面垂直的性質(zhì)；2.線面垂直的證明；3.空間角的計(jì)算.