Question

給出兩個命題：
命題甲：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，
命題乙：函數y=（2a²-a）^x為增函數．
分別求出符合下列條件的實數a的范圍．
（1）甲、乙至少有一個是真命題；
（2）甲、乙中有且只有一個是真命題．

Answer 1

【答案】分析：根據二次函數的圖象和性質可以求出命題甲：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅為真命題時，a的取值范圍A，根據對數函數的單調性與底數的關系，可以求出命題乙：函數y=（2a²-a）^x為增函數為真命題時，a的取值范圍B．
（1）若甲、乙至少有一個是真命題，則A∪B即為所求
（2）若甲、乙中有且只有一個是真命題，則（A∩C_UB）∪（C_UA∩B）即為所求．
解答：解：若命題甲：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅為真命題
則△=（a-1）²x-4a²=-3a²-2a+1＜0
即3a²+2a-1＞0，
解得A={a|a＜-1，或a＞}
若命題乙：函數y=（2a²-a）^x為增函數為真命題
則2a²-a＞1
即2a²-a-1＞0
解得B={a|a＜-，或a＞1}
（1）若甲、乙至少有一個是真命題
則A∪B={a|a＜-或a＞}；
（2）若甲、乙中有且只有一個是真命題
（A∩C_UB）∪（C_UA∩B）={a|＜a≤1或-1≤a＜-}．
點評：本題以復合命題的真假判斷為載體考查了函數的性質，其中分析出命題甲乙為真時，a的取值范圍，是解答的關鍵．