Question

給出兩個命題：
命題甲：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為φ；
命題乙：不等式2a²-a＞log₂x對任意x∈（0，2]恒成立，分別求出符合下列條件的實數a的取值范圍．
（1）甲、乙至少有一個是真命題；
（2）甲、乙中有且只有一個是真命題．

Answer 1

分析：（1）分別求出令命題甲為真命題時，a的取值范圍集合A，和命題乙為真命題時，a的取值范圍集合B，若甲、乙至少有一個是真命題，則求兩條件范圍并集A∪B即可．
（2）若甲、乙中有且只有一個是真命題．則求出（A∩CuB）∪（CuA∩B）即可．

解答：解：若命題甲：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為φ為真命題，
則△=（a-1）²-4a²＜0
解得：a＜-1，或a＞

1

3

若命題乙：不等式2a²-a＞log₂x對任意x∈（0，2]恒成立，
則2a²-a＞1
解得a＜-

1

2

，或a＞1
（1）若甲、乙至少有一個是真命題
則a＜-

1

2

，或a＞

1

3

（2）若甲、乙中有且只有一個是真命題
則

1

3

＜a≤1，或-1≤a＜-

1

2

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數恒成立問題，一元二次不等式的解法，其中分別求出命題甲為真命題時，a的取值范圍集合A，和命題乙為真命題時，a的取值范圍集合B，是解答本題的關鍵．